সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র

সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হলো: V = A × h. নিচে উদাহরণসহ ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র এবং সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র ভেক্টর তুলে ধরা হয়েছে। 

উপস্থাপনা

জ্যামিতির এক গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় হলো ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি, যেখানে বিভিন্ন আকার ও আকৃতির ঘনবস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয়। এই আকারগুলো নিয়ে কাজ করার সময় আমরা প্রায়ই তাদের আয়তন নির্ণয়ের প্রয়োজন অনুভব করি। 

ঘনবস্তুগুলোর মধ্যে অন্যতম হলো সামান্তরিক। আজকের এই প্রবন্ধে আমরা “সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র” সম্পর্কে বিশদভাবে আলোচনা করব। বিশেষত ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র এবং ভেক্টর ব্যবহার করে সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয় সম্পর্কে আলোকপাত করব।

সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র

জ্যামিতিতে সামান্তরিক একটি চার-পার্শ্বযুক্ত আয়তক্ষেত্রের আকার। এটি দুইটি বিপরীত দিকের সরলরেখার মধ্যবর্তী স্থানে ভিন্ন ভিন্ন কোণে থাকে। একটি সাধারণ সমতল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা তার ভরবেগের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের ব্যবধান বা উচ্চতা ব্যবহার করি। তবে যদি এটি ত্রিমাত্রিক হয়, অর্থাৎ একটি ঘন সামান্তরিক হয়, তখন তার আয়তন নির্ণয় করতে কিছু ভিন্ন প্রক্রিয়া এবং সূত্র ব্যবহার করতে হয়।

সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সাধারণ সূত্রটি হলো:

V = A × h

এখানে,

• V হলো সামান্তরিকের আয়তন,
• A হলো সামান্তরিকের বেস এর ক্ষেত্রফল,
• h হলো উচ্চতা, যা বেসের উপর আনুভূমিকভাবে নির্ধারিত।

এই সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা সহজেই একটি সাধারণ ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয় করতে পারি।

ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র

ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের জন্য আমাদেরকে বেসের ক্ষেত্রফল এবং উচ্চতার মান জানার প্রয়োজন হয়। একটি ঘন সামান্তরিকের ক্ষেত্রে, এর বেস হলো একটি সামান্তরিক এবং তার উপর নির্ধারিত একটি উচ্চতা। এই উচ্চতার মান বেসের উপর লম্বভাবে নির্ধারিত হয়। একটি ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সাধারণ সূত্রটি হলো:

V = B × h

এখানে,

• V হলো ঘন সামান্তরিকের আয়তন,
• B হলো বেসের ক্ষেত্রফল, এবং
• h হলো উচ্চতা।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের একটি সামান্তরিক থাকে যার বেসের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ ইউনিট এবং উচ্চতা ১৫ ইউনিট, তাহলে ঘন সামান্তরিকের আয়তন হবে:

V = 20 × 15 = 300 ঘন ইউনিট

সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র ভেক্টর

ভেক্টর ব্যবহার করে ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয় একটি অত্যন্ত কার্যকর পদ্ধতি। তিনটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণফল ব্যবহার করে ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয় করা যায়। তিনটি ভেক্টর a, b, এবং c যদি একটি ঘন সামান্তরিকের তিনটি প্রান্ত নির্দেশ করে, তবে ঘন সামান্তরিকের আয়তন হবে:

V = | a · (b × c) |

এখানে,

• b × c হলো ভেক্টর b এবং c-এর ক্রস গুণফল,
• a · (b × c) হলো স্কেলার গুণফল, এবং
• | · | চিহ্নটি গুণফলের মান নির্দেশ করে।

এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র, বিশেষ করে যখন আমরা ত্রিমাত্রিক স্থানিক জ্যামিতিতে কাজ করি। এর মাধ্যমে আমরা ভেক্টর ব্যবহার করে সামান্তরিকের আয়তন নির্ধারণ করতে পারি যা জ্যামিতিক সমস্যাগুলোতে বিশেষ প্রয়োজনে প্রয়োগ করা হয়।

উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের তিনটি ভেক্টর রয়েছে:

a = î + 2ĵ + k̂

b = 2î - ĵ + 3k̂

c = 3î + ĵ + 2k̂

প্রথমে, ভেক্টর b এবং c-এর ক্রস গুণফল নির্ণয় করা হবে:

    b × c = | î  ĵ  k̂ |
             | 2  -1  3 |
             | 3   1  2 |
            = -5î + 5ĵ + 5k̂
    

এখন, ভেক্টর a-এর সাথে এই ফলাফলের ডট গুণফল নির্ণয় করব:

a · (b × c) = (1)(-5) + (2)(5) + (1)(5) = -5 + 10 + 5 = 10

অতএব, ঘন সামান্তরিকের আয়তন V = ১০ ঘন ইউনিট।

উপসংহার

সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্রগুলো জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। ত্রিমাত্রিক সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ে আমরা বেসের ক্ষেত্রফল এবং উচ্চতা ব্যবহার করি, যেখানে ভেক্টর ব্যবহার করে এই প্রক্রিয়াটি আরও কার্যকরভাবে সম্পন্ন করা যায়। ভেক্টর গণিত এবং স্কেলার ও ক্রস গুণফলের মাধ্যমে ঘন সামান্তরিকের আয়তন নির্ণয়ের পদ্ধতিটি বিশেষভাবে জটিল জ্যামিতিক সমস্যাগুলোতে ব্যবহৃত হয়।