সেট ও ফাংশন সূত্র সমূহ নিচে তুলে ধরা হয়েছে। এর পাশাপাশি উদাহরণসহ সেট ও ফাংশানের সূত্রগুলোরন ব্যাখ্যা তুলে ধরা হয়েছে। তো চলুন দেখে নেয়া যাক সেট ও ফাংশনের সূত্র সমূহ।

সেট ও ফাংশন সূত্র

গণিতের গুরুত্বপূর্ণ একটি অংশ হলো সেট ও ফাংশন। এই দুটি বিষয় উচ্চ মাধ্যমিক ও বিশ্ববিদ্যালয় পর্যায়ের গণিত শিক্ষার্থীদের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। নিচে আমরা সেট ও ফাংশনের বিভিন্ন সূত্র এবং তাদের ব্যবহার নিয়ে আলোচনা করেছি।

সেট এর সংজ্ঞা ও প্রকারভেদ

সেট হলো কিছু নির্দিষ্ট ও আলাদা বস্তু বা উপাদানের একটি সুশৃঙ্খল সংগ্রহ। এই উপাদানগুলোকে সেটের সদস্য বলা হয়।

উদাহরণ: একটি সেট A = {2, 4, 6, 8} হল একটি জোড় সংখ্যার সেট।

সেট তিন ধরনের হতে পারে: ফাইনি সেট, ইনফাইনিট সেট, এবং সাবসেট।

সেটের যোগ, ছেদ ও বিয়োজন সূত্র

সেটের উপরে বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়া করা যায়। এর মধ্যে যোগ (Union), ছেদ (Intersection) এবং বিয়োজন (Difference) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

• যোগ সূত্র: A ∪ B = {x : x ∈ A or x ∈ B}
• ছেদ সূত্র: A ∩ B = {x : x ∈ A and x ∈ B}
• বিয়োজন সূত্র: A – B = {x : x ∈ A and x ∉ B}

উদাহরণ: যদি A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {3, 4, 5, 6}, তবে A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4}, এবং A – B = {1, 2}।

কার্তেসিয়ান গুণফল

দুইটি সেট A এবং B এর কার্তেসিয়ান গুণফল হলো A × B = {(a, b) : a ∈ A এবং b ∈ B}। এটি ফাংশনের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ: যদি A = {1, 2} এবং B = {x, y}, তবে A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}।

ফাংশনের সংজ্ঞা

ফাংশন হলো এমন একটি সম্পর্ক যা প্রথম সেটের প্রতিটি উপাদানকে দ্বিতীয় সেটের নির্দিষ্ট একটি উপাদানের সাথে সংযুক্ত করে।

উদাহরণ: f: A → B যদি f(x) = x² এবং A = {1, 2, 3}, তবে f(A) = {1, 4, 9}।

ফাংশনের ধরন

ফাংশনের বিভিন্ন ধরন রয়েছে যেমন: এক এক ফাংশন (One-One), onto ফাংশন, এবং বাইজেক্টিভ ফাংশন।

• One-One ফাংশন: প্রতিটি ইনপুট ভিন্ন আউটপুট তৈরি করে।
• Onto ফাংশন: কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান অন্তত একটি ইনপুট দ্বারা গৃহীত হয়।
• Bijection: যখন ফাংশন One-One ও Onto উভয় হয়।

উদাহরণ: f(x) = x + 2 যদি A = {1, 2, 3} এবং B = {3, 4, 5} হয়, তবে এটি একটি বাইজেক্টিভ ফাংশন।

ফাংশনের গঠন ও সংযোজন

দুটি ফাংশন f এবং g এর গঠন f ∘ g দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা প্রথমে g এবং পরে f প্রয়োগ করে। এটি ফাংশন কম্পোজিশন নামে পরিচিত।

উদাহরণ: যদি f(x) = 2x এবং g(x) = x + 3 হয়, তবে (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6।

FAQ (সাধারণ প্রশ্নোত্তর)

Q1: সেট বলতে কী বোঝায়?
Ans: কিছু নির্দিষ্ট ও স্বতন্ত্র উপাদানের গোষ্ঠীকেই সেট বলা হয়।

Q2: ফাংশন কাকে বলে?
Ans: ফাংশন হলো এমন একটি নিয়ম যা প্রতিটি ইনপুটকে ঠিক একটি নির্দিষ্ট আউটপুটের সাথে সংযুক্ত করে।

Q3: ফাংশনের গঠন কিভাবে কাজ করে?
Ans: দুটি ফাংশন f এবং g এর গঠন মানে প্রথমে g প্রয়োগ করা, পরে f প্রয়োগ করা।

Q5: ফাংশনের প্রধান তিনটি ধরন কী কী?
Ans: One-One, Onto এবং Bijective ফাংশন হলো প্রধান তিনটি ধরন।